Konvergens av Fourier rekker i Hilbert rom - en introduksjon til sampling teori.

Abstract

Klassisk kalkulus som omhandler studie av kontinuerlig forandring kan spores helt tilbake til 1600 tallet. Derimot mangler klassisk kalkulus evnen til å tilstrekkelig transformere naturlige prosesser som lyd, radiobølger eller bilder til sine digitale motparter. Allerede i slutten av århundret begynte klassisk kalkulus å gradvis møte problemer med noen av antagelsene sine. Arbeidet utført av Joseph Fourier (1768-1830) markerte et veiskille, som medførte en etterforsking av en slik størrelse at det ledet til en restrukturering til det vi nå kaller matematisk analyse. I de kommende århundrene oppstod det mange grener av analyse. Spesielt merker vi oss dannelsen av funksjonsanalysen av Stefan Banach i de tidlige 20-tallene. Her finner vi de nødvendige verktøyene for digitalisering av slike naturlige prosesser. Vi gir en introduksjon av denne fascinerende teorien, sammen med noen eksempler av Banach- og Hilbert rom. Vi beskriver òg noen applikasjoner som rekonstruksjon av bånd-begrensede signaler gjennom det berømte Shannon-sampling teoremet. Særlig utnytter vi Kadets ¼-teorem for å forbedre samplings prosessen.

Classical calculus, which traces its origins back to the 17th century is concerned with the study of continuous change. However, classical calculus lacks the ability to adequately transform natural processes such as audio, radio waves and even images into their digital counterparts. Fast forward to the 18th century, mathematical calculus was gradually encountering problems with some of its assumptions. The work done by Joseph Fourier (1768-1830) marked a turning point, commencing an investigation of such proportions that it ultimately lead to a restructuring into what we now call Analysis. Many branches of analysis emerged in the following centuries. Of particular note was the creation of functional analysis by Stefan Banach in the early 20's. In it, we find the proper tools for digitization of such natural processes. We provide an introduction to this intriguing theory, together with some examples of Banach- and Hilbert spaces. Including applications such as the reconstruction of band-limited signals through the famous Shannon-sampling theorem. Particularly we take advantage of Kadets 1/4-theorem to improve the sampling process.