Problemløsning i geometri – en studie av konkurranseoppgaver og elevers løsningsstrategier

Abstract

I denne oppgaven analyserer jeg geometriproblemer fra matematikkonkurranser. Store og små utfordringer innenfor geometri fra de ti siste årenes Abelkonkurranse inngår i datamaterialet, sammen med seks problemer fra IMO (International Mathematical Olympiad). For å ha et sammenlikningsgrunnlag analyseres også eksamensoppgaver i geometri fra kurset R1. Jeg har også vært til stede på en «treningsleir» i forkant av en matematikkonkurranse. Fem av deltakerne her besvarte et lite spørreskjema om problemløsningsstrategier. Tre deltakere ble intervjuet om sine løsninger av to geometriproblemer. Videre har jeg har deltatt på to møter i en såkalt Abel-gruppe (dvs. en elevgruppe som møtes i en av sine fritimer for å jobbe med konkurranse¬oppgaver i matematikk). Fire elever herfra leverte inn besvarelser på et lite geometriproblem. Formålet med studien er å undersøke om «geometri-nøtter» fra matematikkonkurranser kan være aktuelle for å fremme en mer problemfokusert undervisning i videregående skole. Jeg tar utgangspunkt i forskningsspørsmålet: Hvordan samsvarer konkurranseoppgaver i geometri – samt elevers strategier i løsningsprosessen av disse – med kompetansemål for matematikkfaget i videregående skole? Et viktig underspørsmål er: Har skolen noe å lære av konkurransematematikken, og i tilfelle hva? Pólyas (1957) problemløsningsmodell, samt utvidelser av denne, særlig slik vi finner dem hos Schoenfeld (1985) og Borgersen (1994) utgjør en viktig del av teorigrunnlaget. Jeg refererer til forskning som indikerer at på noen områder kan talentfulle elevers strategier sammenliknes med den profesjonelle matematikerens (Gorodetsky & Klavir, 2003; Sriraman, 2004). I studien brukes van Hiele-nivåene som forklaringsmodell for utvikling av geometrisk tenkning, og jeg ser nærmere på matematikkdidaktisk forskning som påpeker at undervisning i geometriske bevis bør knyttes opp mot problemløsning. Et praktisk resultat av studien er en tabell med oversikt over noen konkurranseoppgaver som møter spesifikke kompetansemål. Det er særlig finaleoppgaver som anvender «R1-stoff». Problemer fra Abel-konkurransens innledende runder har få paralleller til geometridelen av R1 – van Hiele-teorien indikerer imidlertid at disse oppgavene har et potensiale knyttet til utvikling av geometriforståelse. Et noe overraskende resultat av studien er at den frembringer argumenter for at sykliske firkanter bør inn i lærebøkene i R1 – de er der «nesten» allerede, selv om de hverken nevnes eller utnyttes. Sykliske firkanter er nødvendig kunnskap for elever som deltar i internasjonale matematikk-konkurranser, og dessuten et grunnleggende redskap for å møte R1-kompetansemålet om å bruke «setningen om periferivinkler i geometriske resonnementer og beregninger». Analysene mine antyder at når vanskelighetsgraden i konkurranseoppgavene er adskillig høyere enn i eksamensoppgaver (R1), så er det ikke fordi de bygger på flere geometrikunnskaper. De krever imidlertid at kunnskapene brukes på en kreativ måte. Dette er nettopp et kjennetegn på problemer – oppgaver der eleven ikke kjenner en metode, og der eleven blir engasjert for å finne en løsning (Schoenfeld, 1989).