Generaliseringer av Brianchon og Pascal sine teoremer om kjeglesnitt

Abstract

George Salmon sin artikkel blir analysert og redegjort for stegvis i kapittel 3 ved at vi tar for oss avsnitt for avsnitt. I det projektive planet får vi et oppsett med tre kjeglesnitt, alle med dobbel kontakt til et gitt ikke-degenerert kjeglesnitt S i to og to punkter der hvor tre distinkte linjer (korder) treffer S. Det blir bevist at hvert av disse kjeglesnittene er medlemmer av hver sin pensel. Seksjon 3.1, 3.2 og 3.4 bygger alle opp mot dette endelige oppsettet i planet. En interessant digresjon blir gjort i seksjon 3.3 når vi beviser at de fire skjærings-korder, de som oppstår der hvor to av kjeglesnittene med dobbel kontakt skjærer hverandre, ligger harmonisk. Deretter, i seksjon 3.5, degenererer vi de tre kjeglesnittene med dobbel kontakt til par av tangentlinjer og bruker dette til å bevise Brianchon sitt teorem. Ved hjelp av dualitet (og polaritet) tar vi utgangspunkt i dette teoremet for å kunne bevise Pascals teorem i seksjon 3.6.

Oppsettet fra planet blir videre brukt som fundament for å forstå oss på Salmons generalisering til rommet i seksjon 3.7. Vi finner en direkte analogi mellom planet og rommet: Tre kvadrikker som representerer hver sin pensel, alle innhyllet av en ikke-singulær kvadrikk S der hvor tre plan skjærer igjennom den. De tre innhyllede kvadrikkene blir så degenerert til kjegler, og vi bekrefter utsagnet til Salmon om at denne milde degenererasjonen sørger for et oppsett som svarer til Brianchon sitt teorem. Dette oppsummeres i teorem 4. Det mest iøynefallende med seksjon 3.7 finner imidlertid sted når vi tar opp dualitets-redskapet vårt og bruker det på dette teoremet. Det resulterer nemlig i en (dual) sats; teorem 5, som ikke bare har samme oppsett som Pascals teorem, men som også legger til grunn for samme konklusjon i rommet som i planet; Skjæringspunktene ligger fremdeles på linje. Artikkelen stopper her, men vi ser vårt snitt til å videreføre arbeidet til høyere dimensjoner.

I kapittel 4 tar vi for oss en generalisering til n dimensjoner. Vi finner også her en direkte analogi mellom n dimensjoner og arbeidet vårt fra kapittel 3. De samme strategier og metoder som tidligere blir anvendt for å oppnå ønsket resultat i høyere dimensjoner. Nok en gang får vi en situasjon med tre kvadrikker, alle medlemmer av hver sin pensel, innhyllet av en ikke-singulær kvadrikk S der hvor tre hyperplan snitter den. Vi degenererer S, akkurat som vi gjorde med kjeglesnittet S i planet og kvadrikken S i rommet, til en «kjegle». Likningen til kjeglen tilsvarer nøyaktig en kjegle i rommet og et par av linjer i planet - akkurat slik vi ønsker. Den direkte analogien gjør at vi nok en gang, i teorem 7 får et oppsett som svarer til Brianchon sitt teorem i n dimensjoner. I kjent stil bruker vi dualitet for å finne analogien til Pascals teorem. Interessant nok er konklusjonen i Pascals teorem i planet og rommet om at de tre skjæringspunktene alltid vil ligge på linje også gjeldende i n dimensjoner. Dette fremlegges i teorem 8.

The article, written by George Salmon, will be gradually analyzed and explained in chapter 3. In the projective plane we get a setup with three conics, all having double contact with a given non-degenerate conic S in pair of points where three distinct chords intersect S. We prove that the three conics are members of each pencil. Section 3.1, 3.2 and 3.4 are all building towards this final setup in the plane. An interesting digression is made in section 3.3 when we prove that the four intersecting chords; those we obtain when two of the conics with double contact intersect with each other, lies harmonically. Next, in section 3.5, we degenerate the three conics with double contact into pair of tangent lines in order to prove Brianchon’s theorem. Then we use duality (and polarity) on Brianchon’s theorem to prove Pascal’s theorem in section 3.6.

The setup from the plane is further used as foundation in order to understand Salmon’s generalization to the projective space in section 3.7. We discover a direct analogy between the projective plane and the projective space: Three quadratic surfaces representing each pencil, all being enveloped by a given non-singular quadratic surface S where it is intersected by three planes. Next, we degenerate the three enveloped surfaces into pair of cones, and we confirm Salmon’s statement: This mild degeneration ensures that we obtain a setup which corresponds to Brianchon’s theorem. We summarize this in theorem 4. However, the most interesting finding in section 3.7 occurs when we use duality on this theorem. We get a dual theorem (theorem 5) that completely corresponds to Pascal’s theorem; the three points of intersection are still collinear. The article ends here, but we find it necessary to continue the work to higher dimensions.

We work on a generalization to n dimensions in chapter 4. Also here we discover a direct analogy between n dimensions and our previous work from chapter 3. The same strategies and methods as before are applied to obtain the desired result in higher dimensions. Once again, we get a situation with three quadratic surfaces, all members of each pencil, and all being enveloped by a non-singular quadratic surface S where it is intersected by three hyperplanes. We degenerate S into a cone in higher dimensions. The equation of the cone corresponds to a cone in the projective space, and a pair of lines in the projective plane – exactly as we want. The clear analogy makes sure that we once again, in theorem 7, obtain a setup which corresponds to Brianchon’s theorem in higher dimensions. Finally, by duality, we get a theorem completely corresponding to Pascal’s theorem in n dimensions. The conclusion in his theorem, stating that the three points of intersection are always collinear, is also valid for n dimensions. This is presented in theorem 8.