Studie på anvendeligheten av Carleman embedding til kontroll av vannivået i en tank.

Abstract

Denne avhandlingen presenterer kontroller design av en estimert dynamisk modell, hvor modellen er utledet ved bruk av teknikken Carleman embedding. For å utføre denne teknikken, burde den ikkelineære dynamiske modellen være uttrykt på polynom form. Hvis et ikkelineært system er analytisk, kan det uttrykkes som et polynom ved hjelp av Taylor approksimasjon av høyere orden. Taylor approksimasjonen av orden tre, også kalt cubic modell, viser seg å være den best egnede modellen for utføringen av Carleman embedding teknikken. Carleman linearisering av denne cubic modellen resulterer i et ukontrollerbart system. Derfor vil kontroller design for quadratic Carleman approksimasjonen bli vurdert. Kontrolleren for dette systemet er basert på tilbakekobling. Prosessen i å finne kontroller forsterkningen K kan utrykkes som et optimaliseringsproblem i form av linear matrix inequalities. En slik kontroller er nødt til å tilfredsstille visse kriterier for å være operasjonell. Hovedfordelen i en slik kontroller er at den garanterer stabilitet i den regionen som kontrolleren ble designet for. Ulempen med denne typen kontroller design er at numeriske problemer oppstår, som begrenser dens praktiske nytte.

This thesis presents control design of an approximated dynamical model, which is derived by using the Carleman embedding technique. To perform the Carleman embedding, the nonlinear dynamical model should be expressed in a polynomial form. By using the higher order Taylor approximation, a nonlinear system, if analytical, can be expressed in such a form. Carleman embedding of the cubic two-tank model proves to give a compromise between accuracy and computational labour. However, Carleman linearization of this model results in an uncontrollable system. Therefore, controller design for the quadratic Carleman approximation is considered. This controller is a state feedback controller. The process of finding the controller gain K, can be expressed as an optimization problem in terms of linear matrix inequalities. A quadratic controller has to fulfil some necessary constraints to be operational. The main benefit of this type of controller design, is that it ensures stability in the given region that the controller was designed for. However, this controller design leads to poor feasibility, which limits its usefulness in a practical setting.